Русь Великая

lsvsx


Всё совершенно иначе!

Истина где-то посередине. Так давайте подгребать к ней не теряя достоинства.


Previous Entry Share Next Entry
Календарные расчеты на Руси проводились «на пальцах»
Русь Великая
lsvsx

На протяжении многих столетий календарные расчеты на Руси проводились «на пальцах» в буквальном смысле этого слова...  

Сегодня, заглянув в календарь, мы сразу можем сказать, на какой день недели пришлось, например, 1 марта или 26 августа, в какой день того или другого месяца будет новолуние. В наше динамическое время такая информация необходима всем. Но она была нужна и 500, и 800 лет назад. Календарей в то время не печатали. И все же люди выходили из положения, ведя счет дням и фазам Луны по пальцам, В частности, такие расчеты применялись и для определения дня пасхи. Используемый метод получил название «руки Дамаскина», возможно, по имени греческого богослова Иоанна Дамаскина (680 — 760), хотя в сохранившихся его трудах об этом методе никаких упоминаний не найдено. В России метод был более известен под названием «рука богословля». Рисунок «руки» для проведения календарных расчетов помещен в Ужгородском Полууставе — рукописи XVI в., в которой подробно описаны календарные характеристики года и даны их таблицы. Описание метода и рисунки даны и в «Псалтыре с часословцем», напечатанном Иваном Федоровым в г. Заблудове (1569 г.).

«Рука Дамаскина» может быть «реализована» в различных вариантах, чем достигается тот или другой уровень простоты в счете десятков, сотен и тысяч лет на пальцах рук. В частности, в книге В. Петрова «Рука Богословля» (М., 1787) находим около 70 отдельных рисунков правой и левой рук с соответствующим расположением на них букв и чисел. Использование этого метода для проведения календарных расчетов, разработка его различных вариантов безусловно свидетельствует о высоком уровне математической культуры на Руси.


В одной из древних рукописей читаем: «Аще который философ навыкнет пасхалиям... и начнет хвалитися.,, и ты рцы ему сице: аще горазд еси и философ пасхалиям..., найди же ми... в кий день луна небесная настанет и в кий час,... найди ми, философе, рукою индиктовою пасху евреом и пасху Христианом...».

Что ж — попробуем...

«Лето» — в руке. Посмотрим сначала, как рассчитывается по пальцам день недели на любую календарную дату, т. е. как год («лето») можно «держать в руке».

Расположим мысленно на указательном пальце левой руки вруцелетные буквы так, чтобы буква А заняла первую от ладони позицию, над ней поставим букву В, еще выше—Г, на конце пальца — Д и далее на тыльной стороне вниз соответственно Е, S, 3 (рис.).


Рис. Расположение вруцелетных букв на указательном пальце для определения дня недели на заданную календарную дату

Теперь вспомним о том, что вруцелетные буквы «навечно» жестко связаны с числами календарных месяцев и что счет вруцелетных букв начинается от 1 марта так, что 1 марта = Г, 2 марта — В, 3 марта — А и т. д. Поэтому на пальце рядом с вруцелетной буквой Г и поставим соответствующую ей календарную дату 1 марта. Далее счет дней ведем вниз:

2 марта, где стоит буква В, 3— А и т. д. Буква Г, как и в табл., соответствует также датам 8, 15, 22 и 29 марта. Поэтому 1 апреля устанавливаем на тыльной стороне пальца, где стоит вруцелетная буква 3. Снова обходим четыре раза вверх и вниз, позиции с буквой 3 будет соответствовать 29 апреля, над ней стоит 30, а 1 мая займет место, где стоит буква Е, и т. д.

Напомним, что счет ведется по юлианскому календарю и что в нашем, XX веке первому числу месяца по ст. ст. соответствует 14-е по н. ст. Чтобы проводить расчеты по новому стилю, необходимо, оставив даты на своем месте, циклически передвинуть все вруцелетные буквы вперед на-одну позицию (А на место В, В на место Г и т. д.).

Ранее было найдено, что вруцелето 1986 г.— А. Это значит, что все числа календарных месяцев (ст. ст.), приходящиеся на этот сустав, в этом году будут воскресеньями: 3 марта, 10 марта, 1 сентября,... 1 декабря,...

Так древние «философы» и держали «лето» в руке, т. е. устанавливали день недели на любую календарную дату. Раньше, однако, тем же путем необходимо было найти вруцелето года.

Круг Солнца и вруцелето. Вруцелето года, как это следует из табл., устанавливается по месту года в 28-летнем солнечном цикле. Поэтому поиск вруцелета сопровождается одновременным расчетом круга Солнца для заданного года. Для этого сначала расположим (рис.) числа от 1 до 28 (это круги Солнца) и вруцелетные буквы (соответствующие кругам Солнца согласно табл.) на суставах и концах пальцев левой руки, начиная от конца среднего пальца (вруцелето А и круг Солнца 1).


Рис. Расположение букв и чисел на пальцах левой руки для определения круга Солнца и вруцелета

На конце безымянного пальца будут вруцелето В и круг Солнца 2, на мизинце —Г и 3. Затем счет продолжается на тыльной стороне руки (эти числа и буквы на рисунке проставлены рядом с пальцами) слева направо и сверху вниз, а потом на ладони также слева направо, но уже снизу вверх. Счет заканчивается на конце указательного пальца —круг Солнца 28 (=0) и вруцелето 3. При необходимости дальнейшего счета нужно снова перейти на средний палец. Полезно помнить, что все високосные годы располагаются на мизинце (они соответствуют кругам Солнца Q — 3, 7, 11...).

Для нахождения круга Солнца и вруцелета года нужно, начав с 1 года константинопольской эры, «пройтись» по кругам Солнца до нужного года. Эти расчеты можно упростить, так как нетрудно убедиться, что сотни и тысячи, а также «двадцатки» лет умещаются на одном указательном пальце. Это следует из того, что 100 = 3*28+16. Поэтому отсчет ведется сначала именно на указательном пальце. При этом на каждую 1000 лет приходится пять суставов, на сотню лет четыре сустава и на двадцатилетие пять суставов. В каком направлении вести счет — дело второстепенное (есть варианты и те, и другие), так как переход, скажем, при отсчете тысяч от конца пальца (где размещено 28 = 0) на пять позиций по тыльной его стороне («от себя») полностью эквивалентен переходу на две позиции со стороны ладони («к себе»). Мы для однообразия будем вести счет в направлении роста нанесенных на рис. 35 чисел единиц — от 0 «вниз от себя», т. е. сначала по тыльной стороне, потом со стороны ладони вверх по направлению чисел 0 — 4 — 8 — 12— 16 — 20 — 24 — 0.

Счет лет, оставшихся после откладывания тысяч, сотен и двадцатилетий, ведется уже на всех пальцах по горизонтальным рядам в направлении роста чисел (номеров круга Солнца).

Для примера определим круг Солнца и вруцелето для 1986 г. н. э. = 7494 г. константинопольской эры.

1. Семь тысяч лет по пять суставов на тысячу — это 7 * 5 = 35 суставов, т. е. ровно 5 циклов на указательном пальце левой руки. Поэтому счет сотен также начинаем с того же места — от кончика указательного пальца, где стоит число 28 (=0) .

2. Четыре сотни лет по четыре сустава на сотню дают 4*4 = 16 = 2*7 + 2. Передвигаемся на две позиции к числу 8 (где вруцелетная буква Г). Если бы номер года выражался целым числом сотен, то расчет на этом закончился бы. В случае года 7400 вруцелето было бы Г и круг Солнца Q = 8.

3. Число десятков и единиц года 94 =4*20+14. Так как 20 годам соответствуют 5 суставов, то всего вперед следует отсчитать 4 *5 = 20 = 2*7 + 6 — шесть суставов (или 7 — 6=1 назад!). Поэтому от позиции, обозначенной числом 8, переходим на позицию, где стоит число 4,

4. Там же, т. е. в данном случае на тыльной стороне руки, переходим к счету на других пальцах, передвигаясь на 14 позиций по номерам круга Солнца: первая позиция — 5, вторая — 6 и т. д. В итоге находим круг Солнца Q = 18 (=4+ 14) и вруцелето А. Если бы при отсчете двадцатилетий мы остановились, например, на позиции 24 и нам осталось бы отложить еще 9 лет, то при окончательном подсчете мы пришли бы к кругу Солнца 5(24 + 9 — 28 = 5) и вруцелету S.

Круг Луны и исправа. Опишем теперь способ определения по пальцам правой руки (рис.) круга Луны и исправной буквы (исправы).


Рис. Расположение букв и чисел на правой руке для определения круга Луны и исправной буквы

Напомним, что последняя указывает дату «ущерба» — дня, следующего непосредственно после весеннего полнолуния. В предлагаемом читателю варианте используются все пять пальцев и лишь с одной стороны руки — на ладони. На четырех пальцах насчитывается по четыре позиции, а на большом — три, что в сумме и дает 19 — полный цикл годов круга Луны. Счет лет в цикле начинаем от указательного пальца к мизинцу (1 — 4), потом переходим на большой палец, на котором и находятся позиции 5, 10 и 15. Цикл (19 = 0) заканчивается на конце мизинца. Следующий, 20-й от начала счета год займет позицию, обозначенную цифрой 1. После второго 19-летнего цикла 40-й год придется на место, где стоит число 2, 60-й — на место числа 3, 80-й — на место числа 4, 100-й — на основание большого пальца, обозначенное числом 5. Как видно, перемещение вдоль горизонтали влево с любой позиции на следующую соответствует увеличению числа года на 20.

Легко установить, что 200-й год приходится на 2-й сустав большого пальца (позиция 10), 300-й — на его конец (15), 400-й — на нижний сустав указательного пальца (позиция 1). На том же пальце размещаются годы 500 (6), 600 (11) и 700 (16). На среднем пальце снизу вверх расположатся годы 800, 900, 1000 и 1100 и т. д. Следовательно, переход снизу вверх на одну позицию соответствует увеличению числа года на 100.

Наконец, «четные» тысячи годов располагаются одна над другой, начиная с основания большого пальца: позиция 5 соответствует 2000, 10 — 4000, 15 — 6000, 1 —8000 и т. д. Счет нечетных тысяч ведем таким же образом, начиная с позиции 12: 12 соответствует 1000, 17 (конец среднего пальца) — 3000 и т. д. 5508 г. константинопольской эры (т. е. 1 г. до н.э.) приходится на конец среднего пальца.

Итак, при проведении расчетов круга Луны по пальцам правой руки (в используемом здесь варианте!) отсчитываем:

1) на каждую тысячу лет—12 позиций в сторону возрастания номеров круга Луны (влево),

2) на каждую сотню лет — пять позиций влево (или, что то же самое, одну позицию вверх),

3) на каждые 20 лет — одну позицию влево. Остальные годы считаем в обычном порядке по одной позиции на год.

Пример. Найти круг Луны и исправную букву для 1986 г. н. э. = 7494 г. константинопольской эры.

1) Так как одной тысяче лет соответствуют 12 суставов, то всего необходимо отсчитать 7*12=84 = 4*19 +8. Четыре полных 19-летних цикла отбрасываем и, начав счет с числа 1, находим на позиции 8 положение 7000 года.

2) Четырем сотням лет соответствует перемещение по горизонтали на позицию влево: 4 * 5 = 20 = 19+1 (полный цикл отбрасывается). Поэтому 7400 год займет позицию 9.

3) Принимаем во внимание, что 94 = 80+ 14 = 4*20+14. Поэтому сначала а) переходим вдоль горизонтали на 4 позиции влево, т. е. с 9 на 13, после этого б) отсчитываем еще 14 позиций (13+14 = 27=19 + 8) до числа 8. Так находим, что для 1986 г. круг Луны L = 8, а исправная буква Ч. Из таблицы следует, что расчетное (!) весеннее полнолуние будет одним днем раньше указываемого этой буквой, т. е. 15 апреля ст. ст.

Дата пасхи. Все, что делалось до сих пор при этих расчетах,— это элементарная потребность чисто гражданского календаря: по найденному вруцелету дни недели приводятся в соответствие с числами месяцев, круг Луны и исправная буква позволяют сопоставить с этими числами и фазы Луны.

И лишь последняя стадия расчетов—определение ключа границ — имеет отношение к установлению даты пасхи. При этом используется распределение ключевых букв по суставам левой руки, как это показано на рис.


Рис. Расположение букв на пальцах левой руки для определения ключевой буквы.

Прежде всего находим на рисунке исправную букву, соответствующую данному году. Затем от буквы, расположенной на ближайшем нижнем суставе справа, включая в счет и его (!), отсчитываем по направлению к исправной букве столько позиций, сколько их содержится в числе вруцелета.

В результате и получаем ключевую букву (по которой, впрочем, также можно определять дни недели).

В конкретном случае 1986 г., как только что было установлено, исправная буква Ч, вруцелето А=1. Ключевой буквой года будет Ь, так как отсчет начинаем с нее, а число вруцелета 1. Отсюда следует , что в 1986 г. пасха будет 21 апреля ст. ст., т. е. 4 мая н. ст. Если исправной буквой окажется, например, Н, а вруцелетом Г (3), то отсчет производится так же — от буквы П, расположенной на том же пальце,— и тогда ключевой буквой будет тоже Н; но если в том же случае вруцелетом будут буквы Д (4), «есть» (5) и т. д., то отсчет нужно начинать с соседнего пальца — с буквы «от»; через исправную букву «перескакивать» нельзя. Для мизинца «соседним» является большой палец.

Рассмотрим еще один пример. Лаврентьевская летопись сообщает, что переяславский епископ Сильвестр умер «в лето 6631 ... месяца априля в 12 день, в великын четверг». Чтобы проверить, правильно ли указан год этого события (и всех остальных, о которых летописец сообщает под тем же номером года!), следует убедиться в том, действительно ли пасха в 6631 г. от «сотворения мира» была 15 апреля.

Сначала находим круг Солнца и вруцелето.

1) 6*5 = 30 = 4*7 + 2: переход на рис. на две позиции вниз, с «28» на «8».

2) 6*4 = 24 = 3*7 + 3: переход с позиции «8» на «20».

3) 31 = 20+11:

а) переход на 5 позиций вперед— с «20» на «12»,

б) от положения «12» перемещаемся вправо и последовательно вверх на 11 позиций. Так находим круг Солнца Q — 23 и вруцелето 3.

Теперь находим круг Луны и исправную букву:

1) 6*12 = 72 = 3*19 + 15: начав от цифры 1 на указательном пальце правой руки (см. рис.), останавливаемся на позиции 15.

2)6*5= 30 = 19+11, 15+11 = 19 + 7 —сделав круг, переходим на позицию 7.

3) 31 = 20 + 11; имеем (7+1)+11 = 19. Таким образом, для 6631 г. круг Луны L= 19 и исправная буква «от».

И, наконец, на рис. находим ключевую букву года. Исправная буква «от» расположена справа на среднем пальце. Ближайший к ней нижний сустав справа обозначен буквой Ъ. От нее (включая также и ее) н отсчитываем 7 позиций, соответствующих вруцелету «земля». Так приходим к ключевой букве Ц. Следовательно, в 6631 г. от «сотворения мира» (= 1123 г. н. э.) пасха действительно была 15 апреля. Таким образом, упомянутое в летописи событие датировано правильно.

Конечно, в прошлом такие расчеты использовались для определения даты пасхи. Но, подчеркиваем еще раз, что путем подсчета на пальцах определялась фаза Луны на то или другое время года, устанавливался день той или другой календарной даты.

Нелишне еще раз подчеркнуть, что и «пасхальные расчеты» (правда, не по пальцам, а по таблицам) позволяют историкам проверять (а иногда и устанавливать!) дату того или иного события.

Индикт. Таким образом, и «в кий день Луна небесная настанет», и «пасху евреом и пасху Христианом» с номощыо «руки Дамаскина» мы уже определили (дату 2-го дня еврейской пасхи указывает как раз исправная буква, хотя в наше время из-за неточности метонова цикла астрономическое полнолуние, а следовательно, и 15 Нисана приходятся несколькими днями раньше). Но почему в рукописи говорится о «руке индиктовой»?

Оказывается, кроме кругов Луны и исправных букв, по той же правой руке определяли и индикт года. Мы выделяем этот рисунок отдельно (рис.).


Рис. Расположение чисел на пальцах правой руки для определения индикта

Числа индиктов — от I до XV — нанесены здесь на трех пальцах и ладони, начиная с конца указательного пальца,— три раза по пять позиций. Легко установить, что все десятки, сотни и тысячи лет находятся в нижнем горизонтальном ряду. В частности, на тот сустав, где стоит число 5 (V), приходятся также 20, 50, 80, 200, 500, 800, 2000, 5000, на позицию 10 (X) — 10, 40, 70, 100, 400, 700, 1000, 4000 и 7000, на позицию 15 (XV) —30, 60, 90, 300, 600, 900, 3000, 6000, т. е. во всех случаях повторяются одни и те же тройки исходных чисел. Подметив эти закономерности, расчеты индикта можно упростить. При этом началом отсчета будет уже не I, а XV (=0).

Определим индикт года 1986 = 7494 г. от «сотворения мира».

1) Число тысяч—7=2*3+1. Поэтому, начав счет с XV (=0), переходим вправо на одну позицию, где X.

2) Число сотен — 4 = 3+ 1: перемещаемся вправо еще на одну позицию, на место числа V.

3) 94 = 90 + 4 = 30 * 3 + 4

: а) сделав полных 30 циклов по нижней горизонтали (V — XV —X — V), возвращаемся на то же место V;

б) оставшиеся годы считаются в обычном порядке увеличения индиктовых чисел: 5 + 4 = 9. Следовательно, индикт 1986 г. I = 9 (IX).

Алгоритмы «Руки Дамаскина». Присмотримся поближе к основным принципам метода «руки Дамаскина». Это позволит при желании использовать большее или меньшее число пальцев, изменять расположение букв на них, расставлять их по обеим сторонам руки и т. д. Начнем с расчета круга Солнца.

Тысячу и сотню лет можно представить так: 1000 = 35 * 28 + 20, 100 = 3 *28 + 16.

При расчетах фактически принимаются во внимание лишь остатки от деления тысяч и сотен на 28, а полные циклы отбрасываются. Так как при расчете используются четыре пальца, а 20 = 4 * 5, то одной тысяче лет соответствует переход на пальце, с которого начинается счет (указательном), на 5 позиций («пять суставов»). В случае сотен остаток (16) равен 4*4, что соответствует переходу вперед на 4 позиции. В этом весь «секрет» метода.

Запишем произвольное число года константинопольской эры в виде K = TXZY, где Т —число тысяч, X — сотен, Z — десятков и У—единиц. Отбрасывая при счете тысяч и сотен годов целые циклы, запишем сказанное в виде формулы

Q = |(20T+16X+ZY)/28|

Для 1986 г. = 7494 г. константинопольской эры

Q=|(20*7+16*4+94)/28|=18

При расчете круга Луны имеем 1000= 52 * 19 + 12, 100 = 5 * 19 + 5 и 20 = 19 + 1 — переход соответственно на 12, 5 и 1 позицию, целые циклы отбрасываются. Записывая число года в том же виде K = TXZY, имеем для определения круга Луны такую формулу, являющуюся результатом «игры на остатках»:

L = |(12T+5X+ZY)/19|

Так как счет ведется по замкнутому кругу, то сумма остатков делится при определении круга Солнца на 28, круга Луны — на 19, и число полных циклов отбрасывается. Заметим, что здесь символы [] и ||, как и раньше, означают соответственно целую часть частного и остаток после деления. Ради простоты двузначное число единиц и десятков года записано в виде ZY (строго говоря, если Z — число десятков, то запись должна быть такой: 10Z+ У).

Для конкретного 7494 г. имеем [ZY/20] = 4 и |ZY/20| = 14.

Таким образом L = 8

И, наконец, при определении индиктов 1000= 66 *15 + 10, 100 = 6*15+ 10. Но мы уже видели, что переход на 10 единиц вперед эквивалентен сдвигу по горизонтали на одну позицию, если числа расположены, как на рис., и формула для определения индикта имеет вид

I = |(10T+10X+ZY)/15|

Для 7494 г. имеем

I = |(10*7+10*4+94)/15|

Напомним, что в промежутке от 1 марта до 1 сентября числа годов обоих стилей эры от «сотворения мира» совпадают. Но «индиктовый год» начинается с 1 сентября, следовательно, счет годов идет в византийской эре, тогда как точка отсчета кругов Солнца и Луны смещена на полгода вперед, и счет лет ведется здесь в константинопольской эре.

Эти формулы мы привели не столько для расчетов кругов Солнца и Луны и индиктов, сколько для выяснения основ метода «руки Дамаскина». Вряд ли можно возразить что-либо против утверждения, что изложенный подход к решению поставленных задач в виде «игры на остатках» — свидетельство высокой математической культуры...



Индиктовые даты рождения русского царя Исуса Христа в старинной Палее

?

Log in

No account? Create an account